このケースの問題点

相続の際、不動産の名義変更をするために「登記手続」が必要です。
遺言に「相続させる」と書いてあれば単独で手続きができますが、このケースのように「贈与する」と書いてある場合、母は父と共同して申請する必要があります。
つまり、父を探し出して協力を求める必要があります。
しかし母父は離婚してから音信不通であり、協力を求めるのは難しい状況でした。

【1】「遺言書の検認」を行う（検認の手続は約1ヶ月を要する。）
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【2】検認の手続きが完了後「遺言執行者の選任」の申立てをする。
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【3】不動産の名義変更手続、定期預金の手続完了。（相続手続完了まで約2ヶ月半）

遺言執行者の選任の際に、母を候補者にします。
遺言執行者として選任されれば、父の協力がなくとも手続ができます。
少し難しいケースですが、相続登記を申請するときの登記の原因は「遺贈」になります。